Question

（本小題滿分12分）
已知函數是定義在上的奇函數，當，（其中是自然對數的底，）
（1）求的解析式；
（2）設，求證：當時，
（3）是否存在實數，使得當時，的最小值是3？如果存在，求出實數的值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）
（2）略
（3）存在實數，使得時，有最小值3

解：（1），則
所以
又因為是定義在上的奇函數，
所以…………2分
故函數的解析式為
……3分
 （2）證明：當

設
因為
所以當時，
此時單調遞減…………5分
當，此時單調遞增
所以的最小值為
又因為
所以當時，，此時單調遞減
所以的最大值為的最小值
所以當時，…………8分
（3）假設存在實數，使得當，時，有最小值為3
則…………9分
① 當時，在區間單調遞增，
最小值為，不滿足最小值是3
②當在區間上單調遞增，的最小值是，也不滿足最小值3
③當，
故函數增函數。
所以的最小值為，解得（舍去）
④當時，，此時函數是減函數
當，
此時函數是減函數
所以的最小值為，解得……611分
綜上可知，存在實數，使得時，有最小值3…………12分