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(理科)已知函數f(x)＝ex－kx，x∈R．

(Ⅰ)若k＝e，試確定函數f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若k＞0，且對于任意x∈R，f(|x|)＞0恒成立，試確定實數k的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由k＝e得f(x)＝ex－ex，所以(x)＝ex－e．

　　由(x)＞0得x＞1，

　　故f(x)的單調遞增區間是(1，＋∞)；4分

　　由(x)＜0得x＜1，

　　故f(x)的單調遞減區間是(－∞，1)．6分

　　(Ⅱ)由f(|－x|)＝f(|x|)可知f(|x|)是偶函數．于是f(|x|)＞0對任意x∈R成立等價于f(x)＞0對任意x≥0成立．由(x)＝ex－k＝0得x＝lnk．

　　①當k∈(0，1時，(x)＝ex－k＞1－k≥0(x＞0)．此時f(x)在[0，＋∞上單調遞增．故f(x)≥f(0)＝1＞0，符合題意．所以0＜k≤1；10分②當k∈(1，＋∞)時，lnk＞0．當x變化時(x)，f(x)的變化情況如下：

　　由此可得，在[0，＋∞上，f(x)≥f(lnk)＝k－klnk．

　　依題意，k－klnk＞0．又k＞1，所以1＜k＜e．

　　綜合①②實數k的取值范圍為(0，e)．14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（理科）已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對任意的t∈[1，2]，若函數g(x)=x3+x2[f/(x)+
m
2
]在區間（t，3）上有最值，求實數m取值范圍；
（3）求證：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）
（文科） 已知函數f(x)=ax3+
1
2
x2-2x+c
（1）若x=-1是f（x）的極值點且f（x）的圖象過原點，求f（x）的極值；
（2）若g(x)=
1
2
bx2-x+d，在（1）的條件下，是否存在實數b，使得函數g（x）的圖象與函數f（x）的圖象恒有含x=-1的三個不同交點？若存在，求出實數b的取值范圍；否則說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理科）已知函數f（x）=3-4asinxcosx+4cos2x-4cos4x．若函數f（x）的最小值為1，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理科）已知函數f（x）=xlnx．
（1）若存在x∈[
1
e
，e]，使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，求實數a的取值范圍；
（2）設0＜a＜b，證明：f(a)+f(b)-2f(
a+b
2
)＞0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理科）已知函數f(x)=
(3-a)x-3，(x≤7)
ax-6，(x＞7)
若x∈Z時，函數f（x）為遞增函數，則實數a的取值范圍為
（2，3）
（2，3）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•甘肅一模）（理科）已知函數f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．
（1）若存在x0∈[0，1]使不等式f（x0）-m≤0能成立，求實數m的最小值；
（2）若關于x的方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有兩個相異實根，求實數a的取值范圍．

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