Question

如圖，矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=。現沿著其對角線AC將D點向上翻折，使得二面角D—AC—B為直二面角。
（Ⅰ）求二面角A—BD—C平面角的余弦值。
（Ⅱ）求四面體ABCD外接球的體積；

Answer 1

如圖，過點D、B分別向AC引垂線，垂足分別為E、F。易知AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2。又DE⊥AC，AC=面ACD∩面ABC，二面角D—AC—B為直二面角，所以DE⊥平面ABC，又因為BF平面ABC，所以DE⊥BF。故DE、AC、BF兩兩垂直。如圖以點F為坐標原點，FB為x軸，FC為y軸，平行于ED的方向為z軸，建立空間直角坐標系.
則各點的如下A（0,－4,0），B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(0,－3,2).      （3分）
(1) =(0,1,2)，=（2,4,0）,=(－2,1,0)，=(0,－4,2)
設平面ABD的法向量為=(x,y,1),則，
即=(4,－2,1)
設平面BCD的法向量為=(1,b,c),則
即=（1,2,4）
Cos<,>==.   
由圖形知二面角A—BD—C平面角的余弦值為－.           （8分）
(2)設O為AC的中點，∵⊿ABC與⊿ADC都為直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴Ｏ為四面體ＡＢＣＤ的外接球的球心．
∴四面體ＡＢＣＤ的體積               

略