Question

如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，且，為中點.

（Ⅰ）求證：平面；   　
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得點到平
面的距離為？若存在，確定點的位置；
若不存在，請說明理由.

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，
∴，又，
∴平面，
∴.                                                   2分
同理，                                               4分
∴平面．          
5分
（Ⅱ）解：設為中點，連結，
又為中點，
可得，從而底面．
過 作的垂線，垂足為,連結．
由三垂線定理有，
∴為二面角的平面角.                        7分
在中，可求得   
∴．                               9分
∴ 二面角的大小為．               10分
（Ⅲ）解：由為中點可知,
要使得點到平面的距離為，
即要點到平面的距離為.
過 作的垂線，垂足為,

∵平面，
∴平面平面，
∴平面，
即為點到平面的距離.
∴，
∴．                                        12分
設，
由與相似可得
，
∴，即．
∴在線段上存在點，且為中點，使得點到平面的距離為．
14分
解法二：
（Ⅰ）證明：同解法一．
（Ⅱ）解：建立如圖的空間直角坐標系，                6分

則.         
設為平面的一個法向量，
則，．
又
 
令則
得．               8分
又是平面的一個法向量，
9分
設二面角的大小為 ，
則．
∴ 二面角的大小為．                    10分
（Ⅲ）解：設為平面的一個法向量，
則，．
又，
 
令則
得．                                         12分
又
∴點到平面的距離，
∴，
解得，即 .
∴在線段上存在點，使得點到平面的距離為，且為中點．14分

試題分析：解法一：
（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，
∴，又，
∴平面，
∴.                                                   2分
同理，                                               4分
∴平面．          
5分
（Ⅱ）解：設為中點，連結，
又為中點，
可得，從而底面．
過 作的垂線，垂足為,連結．
由三垂線定理有，
∴為二面角的平面角.                        7分
在中，可求得   
∴．                               9分
∴ 二面角的大小為．               10分
（Ⅲ）解：由為中點可知,
要使得點到平面的距離為，
即要點到平面的距離為.
過 作的垂線，垂足為,

∵平面，
∴平面平面，
∴平面，
即為點到平面的距離.
∴，
∴．                                        12分
設，
由與相似可得
，
∴，即．
∴在線段上存在點，且為中點，使得點到平面的距離為．14分
解法二：
（Ⅰ）證明：同解法一．
（Ⅱ）解：建立如圖的空間直角坐標系，                6分

則.         
設為平面的一個法向量，
則，．
又
 
令則
得．               8分
又是平面的一個法向量，
9分
設二面角的大小為 ，
則．
∴ 二面角的大小為．                    10分
（Ⅲ）解：設為平面的一個法向量，
則，．
又，
 
令則
得．                                         12分
又
∴點到平面的距離，
∴，
解得，即 .
∴在線段上存在點，使得點到平面的距離為，且為中點．14分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，若利用向量則可簡化證明過程。本題解法較多，相互比較，可見其優劣。