Question

(本小題滿分12分)
已知圓C₁的方程為(x－2)²+(y－1)²=，橢圓C₂的方程為，C₂的離心率為，如果C₁與C₂相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C₁的直徑，試求：
（1）直線AB的方程；（2）橢圓C₂的方程.

Answer 1

（1）y= －x+3；（2）+=1。

試題分析：（1）由e=，得=，a²=2c²,b²=c²。
設橢圓方程為+=1。又設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。由圓心為(2,1)，得x₁+x₂=4,y₁+y₂=2。
又+=1，+=1，兩式相減，得 +=0。
∴
∴直線AB的方程為y－1= －(x－2)，即y= －x+3。
（2）將y= －x+3代入+=1，得3x²－12x+18－2b²=0
又直線AB與橢圓C₂相交，∴Δ=24b²－72>0。
由|AB|=|x₁－x₂|==,得·=。
解得  b²=8，故所求橢圓方程為+=1。
點評：一般情況下，遇到弦中點的問題可以優先考慮點差法。利用點差法可以減少很多的計算，因此在解有關的問題時用這種方法比較好。點差法適應的常見問題：弦的斜率與弦的中點問題。