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已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在X軸上，橢圓短半軸長為1，動點M(2，t)(t＞0)在直線上．

(1)求橢圓的標準方程

(2)求以線段OM為直徑且被直線3x―4y―5＝0截得的弦長為2的圓的方程；

(3)設F是橢圓的右焦點，過點F作直線OM的垂線與以線段OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

答案：
解析：

　　解：(1)又由點M在準線上，得　　2分

　　故，　從而

　　所以橢圓方程為　　4分

　　(2)以OM為直徑的圓的方程為

　　即

　　其圓心為，半徑　　6分

　　因為以OM為直徑的圓被直線截得的弦長為2

　　所以圓心到直線的距離　　8分

　　所以，解得

　　所求圓的方程為　　10分

　　(3)方法一：設過點F作直線OM的垂線，垂足為K，由平幾知：

直線OM：，直線FN：　　12分

　　由得

　　所以線段ON的長為定值．

　　所以線段ON的長為定值　　14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，
OA
+
OB
與
a
=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設M為橢圓上任意一點，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
(λ，μ∈R)，證明λ2+μ2為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程
（2）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點，斜率為1且過橢圓右焦點F（2，0）的直線交橢圓于A，B兩點，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的長半軸長為
6
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　　）
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

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