Question

已知數(shù)列的前項和為，且滿足 ()，，設，．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若≥，，求實數(shù)的最小值；

（3）當時，給出一個新數(shù)列，其中，設這個新數(shù)列的前項和為，若可以寫成 (且)的形式，則稱為“指數(shù)型和”．問中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，相鄰兩項的比值為定值。

（2）-9

（3）①當為偶數(shù)時，，存在正整 數(shù)，使得，，,，所以且，

相應的，即有，為“指數(shù)型和”；        

②當為奇數(shù)時，，由于是個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)，所以不成立，此時沒有“指數(shù)型和

【解析】

試題分析：解：（1），，，當時，

=2，所以為等比數(shù)列． ，．

（2） 由（1）可得   

；  ，   ，

所以，且．所以的最小值為-9

（3）由（1）當時 ，

當時，，，

所以對正整數(shù)都有．                   

由，，(且)，只能是不小于3的奇數(shù)．

①當為偶數(shù)時，，

因為和都是大于1的正整數(shù)，

所以存在正整 數(shù)，使得，，

,，所以且，

相應的，即有，為“指數(shù)型和”；        

②當為奇數(shù)時，，由于是個奇數(shù)之和，

仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)，所以不成立，此時沒有“指數(shù)型和”

考點：數(shù)列和函數(shù)的 綜合運用

點評：解決的關鍵是能利用數(shù)列的定義和數(shù)列的單調性來求解參數(shù)的值，同事能借助于新定義來求解，屬于基礎題。