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設數列{an}滿足a1=0且
1
1-an+1
-
1
1-an
=1．
（Ⅰ）求{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=
1-
an+1
n
，記Sn=
n
k=1
bk，證明：Sn＜1．
分析：（Ⅰ）由{
1
1-an
}是公差為1的等差數列，知
1
1-an
=
1
1-a1
+(n-1)×1=n，由此能求出{an}的通項公式．
（Ⅱ）由bn=
1-
an+1
n
=
1-
n
n+1
n
=
1
n
-
1
n+1
，能夠證明Sn＜1．
解答：解：（Ⅰ）{
1
1-an
}是公差為1的等差數列，
1
1-an
=
1
1-a1
+(n-1)×1=n，
∴an=
n-1
n
（n∈N*）．
（Ⅱ）bn=
1-
an+1
n
=
1-
n
n+1
n
=
1
n
-
1
n+1
，
∴Sn=(
1
1
-
1
2
)  +(
1
2
-
1
3
) +…+(
1
n
-
1
n+1
)=1-
1
n+1
＜1．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意裂項求和法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足a1=1，且對任意的n∈N*，點Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，則數列{an}的通項公式為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數），則稱數列{bn}是公差為d的準等差數列．如：若cn=
4n-1，當n為奇數時
4n+9，當n為偶數時.
則{cn}是公差為8的準等差數列．
（I）設數列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．求證：{an}為準等差數列，并求其通項公式：
（Ⅱ）設（I）中的數列{an}的前n項和為Sn，試研究：是否存在實數a，使得數列Sn有連續的兩項都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數），則稱數列{bn}是公差為d的準等差數列．如數列cn：若cn=
4n-1，當n為奇數時
4n+9，當n為偶數時
，則數列{cn}是公差為8的準等差數列．設數列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求證：{an}為準等差數列；
（Ⅱ）求證：{an}的通項公式及前20項和S20．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足a1=1，a2+a4=6，且對任意n∈N*，函數f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，則數列{cn}的前n項和Sn為（　　）
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，則A2013=（　　）

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