Question

已知函數f(x)=x(x-a)2，g(x)=

a

2

x2，x∈(-∞，0)且a＜0.
（1）求函數y=f（x）與y=g（x）的圖象的交點的坐標．
（2）設函數的圖象在交點處的切線l₁、l₂，分別為是否存在這樣的實數a，使得l₁⊥l₂？若存在，請求出a的值和相應交點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）求函數f（x）在[-1，0）上最小值F（a）．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=g（x）求出x的值，然后代入可求得坐標．
（2）對函數f（x），g（x）分別進行求導，先假設存在這樣的a，使得l₁⊥l₂，對（1）中兩個交點分別進行考慮，都應該有g'（x）f'（x）=-1，求出a的值然后代入確定A的坐標．
（3）令f'（x）=0求出x的值，然后結合函數f（x）的單調性比較f（-1）與f（

a

3

）的大小進而可得到最小值．

解答：解：（i）設交點的坐標為(x，y)，由x(x-a)2=

a

2

x2，得x2-(2a+

a

2

)x+a2=0，
解得x1=

a

2

，x2=2a，且當x1=

a

2

時，y1=

a3

8

；當x2=2a時，y2=2a3.
故函數y=f（x）與y=g（x）圖象的交點的坐標為A(

a

2

，

a3

8

)，B(2a，2a3)
（ii）g'（x）=ax，f'（x）=3x²-4ax+a²，若存在a，使得l₁⊥l₂．
（1）在點A(

a

2

，

a3

8

)處，有g/(

a

2

)f/(

a

2

)=-1，
又g′(

a

2

)•f′(

a

2

)=a•

a

2

•(3×

a2

4

-2a2+a2)=-

a4

8

，
則

a4

8

=1，又a＜0，故a=-4

8

，此時點A坐標為(-

4 8

2

，-

4 2

2

)
（2）在點A（2a，2a³）處，有g^/（2a）f^/（2a）=-1，
又g'（2a）•f'（2a）=a•（2a）•（3×4a²-8a²+a²）=10a⁴，則10a⁴=-1，無解．
綜上，存在a=-4

8

，使得l1⊥l2，此時A(-

^ 8

2

，-

^ 2

2

)
（iii）令f′(x)=0得x1=

a

3

，x2=a．當x=

a

3

時，x3-2ax2+a2x=

4

27

a3，
上式整理得，(x-

4

3

a)(x-

a

3

)2=0，即直線y=

4

27

a3與y=f(x)圖象另一交點橫坐標x=

4

3

a.
結合圖象可得：

（1）若

a

3

＜-1，即a＜-3時，F(a)=f(x)min=f(-1)=-(a+1)2；
（2）若

4

3

a＜-1≤

a

3

，即-3≤a＜-

3

4

時，F(a)=f(x)min=f(

a

3

)=

4

27

a3
（3）若

4

3

a≥-1，即-

3

4

≤a＜0時，F(a)=f(x)min=f(-1)=-(a+1)2.
綜上F(a)=

-(a+1)2，a∈(-∞，-3)∪[- 3 4 ，0) 4 27 a3，?a∈[-3，- 3 4 )

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系、函數的最值．依據導數判斷函數的單調性、求函數的最值是一種很重要的方法．