Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分別是A₁B、B₁C₁上的點，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N．設

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AA1

=

c

．
（Ⅰ）試用

a

，

b

，

c

表示向量

MN

；
（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，AB=AC=AA₁=1，求MN的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖形知

MN

=

MA1

+

A1B1

+

B1N

=

1

3

BA1

+

AB

+

1

3

B1C1

再用

a

，

b

，

c

表示出來即可
（Ⅱ）求MN的長，即求|

MN

|=

1

3

|

a

+

b

+

c

|，利用求向量模的方法，求|

a

+

b

+

c

|即可求得MN的長

解答：解：（Ⅰ）由圖形知

MN

=

MA1

+

A1B1

+

B1N

=

1

3

BA1

+

AB

+

1

3

B1C1

=

1

3

(

c

-

a

)+

a

+

1

3

(

b

-

a

)=

1

3

a

+

1

3

b

+

1

3

c

．
（Ⅱ）由題設條件
∵(

a

+

b

+

c

)2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

b

•

c

+2

a

•

c

=1+1+1+0+2×1×1×

1

2

+2×1×1×

1

2

=5，
∴|

a

+

b

+

c

| =

5

，|

MN

|=

1

3

|

a

+

b

+

c

=|

5

3

．

點評：本題考查空間向量的夾角與距離求解公式，解題的關鍵是掌握住向量加法法則與用空間向量求線段長度的公式，空間向量法求立體幾何中距離是空間向量的一個非常重要的運用．理解并記憶熟練公式是解題的知識保證．