Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：PB⊥平面EFD.

Answer 1

證明：（1）連結AC交BD于O，連結EO。
∵底面ABCD是正方形，
∴點O是AC的中點。
又∵E是PC的中點
∴在中，EO為中位線
∴PA∥EO。                                         …………………….3分
而EO平面EDB，PA平面EDB，
∴PA∥平面EDB。                                    ……………………6分
（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC，而DE平面PDC，
∴BC⊥DE。①                                       ……………………8分
PD＝DC，E是PC的中點，
∴是等腰三角形，DE⊥PC。②                  ……………………10分
由①和②得DE⊥平面PBC。
而PB平面PBC，
∴DE⊥PB。                                        ……………………12分
又EF⊥PB且DEEF＝E，
∴PB⊥平面EFD。

解析