Question

已知雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的左右焦點為F₁，F₂，點P在該雙曲線上，若P，F₁，F₂是一個直角三角形的三個頂點，則點P到x軸的距離為

 

．

Answer 1

分析：當PF₁ 或 PF₂垂直于x軸時，把 x=±5代入雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1可得|y|的值，當PF₁⊥PF₂ 時，則有 

x2 16 - y2 9 =1 y x+5 × y x-5  =  -1

，解得|y|的值，|y|的值即為所求．

解答：解：由雙曲線的方程

x2

16

-

y2

9

=1可得 a=4．b=3，c=5．
當PF₁ 或 PF₂垂直于x軸時，把 x=±5代入雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1可得|y|=

9

4

，點P到x的距離為

9

4

．
當PF₁⊥PF₂ 時，則有 

x2 16 - y2 9 =1 y x+5 × y x-5  =  -1

，解得|y|=

9

5

，點P到x的距離為

9

5

．
故答案為

9

4

或

9

5

．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及簡單性質的應用，體現了分類討論的數學思想，分類討論是解題的關鍵和易錯點．