Question

已知a＞0，函數f（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設函數g（x）=

4x2-7

2-x

，是否存在實數a≥1，使得對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，滿足f（x₁）=g（x₀）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用導數研究函數的單調區間的方法步驟求解f（x）的單調區間．
（2）設當x∈[0，1]時，f（x）的值域為A，g（x）的值域為B，若存在實數a≥1，則必有A⊆B，分別求出A，B，列出關于a的不等式組求解．

解答：解：（1）f′（x）=3（x²-a²）=3（x-a）（x+a），
由f′（x）=0，得x₁=a，x₂=-a，
∴a＞0，∴x₁＞x₂，
當0＜a＜1，x∈[0，1]時，由f′（x）≥0，得a≤x≤1，所以f（x）在[a，1]上為增函數，
由f′（x）≤0，得0≤x≤a，所以f（x）在[0，a]上為減函數．
當a≥1，x∈[0，1]時，由f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在[0，1]上為減函數．
綜上所述，當0＜a＜1時，f（x）在[a，1]上為增函數，在[0，a]上為減函數．當a≥1時，f（x）在[0，1]上為減函數．
（2）設當x∈[0，1]時，f（x）的值域為A，g（x）的值域為B，若存在實數a≥1，則必有A⊆B，
當a≥1時，f（x）在[0，1]上為減函數，所以f（x）max=f（0）=-2a，f（x）min=f（1）=1-3a²-2a，即A=[1-3a²-2a，-2a]，
又g′（x）=

-4x2+16x-7

(2-x)2

，令g′（x）＞0得

1

2

＜x＜

7

2

，令g′（x）＜0得x＜

1

2

，或x＞

7

2

，
所以g（x）min=f（

1

2

）=-4，又g（0）=-

7

2

，g（1）=-3，所以g（x）max=-3，從而B=[-4，-3]，
由A⊆B得，

1-3a2-2a≥-4 -2a≤-3

，即

- 5 3 ≤a≤1 a≥ 3 2

，不等式無解，
所以不存在實數a≥1滿足題意．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，函數最值、極值在問題中的應用，考查轉化、計算、邏輯思維能力．本題（2）的關鍵是將問題轉化為A⊆B．