Question

已知函數f(x)=xlnx.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)當0＜x＜c時，求函數g(x)=f(x)+f(c-x)的最小值；

(3)已知m、n∈R⁺，證明：f(m)+f(n)＞f(m+n)-(m+n).

Answer 1

答案：(1)解：∵f′(x)=lnx+1(x＞0),1分

令f′(x)≥0，即lnx≥-1=lne^-1.

∵e=2.718 28…＞1,

∴y=lnx在區間(0,+∞)上是單調遞增函數.

∴x≥e^-1=,∴x∈［,+∞).∴f(x)的單調遞增區間為［,+∞),f(x)的單調遞減區間為(0,).

 (2)解：∵g′(x)=lnx+1-ln(c-x)-1=ln,

令h′(x)≥0，則有≥1≥0≤x＜c.

∴g(x)在［,c)上單調遞增，在(0,)上單調遞減.

∴g(x)_min=g()=ln+(c)ln(c)=cln.                                

(3)證明：由(2)g(x)=f(x)+f(c-x)≥cln,令x=m,c=m+n，則

f(m)+f(m+n-m)≥(m+n)ln,

即f(m)+f(n)≥f(m+n)-(m+n)ln2＞f(m+n)-(m+n).