Question

(本小題滿分10分)已知等差數列{a_n}的首項a₁＝1，公差d＞0，且第2項、第5項、第14項分別是一個等比數列的第二項、第三項、第四項．

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；

（Ⅱ）設＝（n∈N^*），＝b₁＋b₂＋…＋b_n，是否存在最大的整數t，使得任意的n均有總成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由題意得（a₁＋d）（a₁＋13d）=（a₁＋4d）²， ……………… 2 分

整理得2a₁d＝d²．

∵a₁＝1，解得（d＝0舍），d＝2．  ………………………………………… 4 分

∴a_n＝2n－1（n∈N^*）．   …………………………………………………… 5 分

（Ⅱ）b_n＝＝＝（－），

∴S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝［（1－）＋（－）＋…＋（－）］

＝（1－）＝．   …………………………………… 8 分

假設存在整數t滿足S_n＞總成立.

又S_n+1－S_n＝－＝＞0，

∴數列{S_n}是單調遞增的．  

∴S₁＝為S_n的最小值，故＜，即t＜9．

∵t∈N^*，

∴適合條件的t的最大值為8．   ……………………………… 10分

 

【解析】略