Question

已知函數f（x）=

1

(1-x)n

，g（x）=aln（x-1），其中n∈N^*，a為常數．
（1）當n=2時，求函數F（x）=f（x）+g（x）的極值；
（2）若對任意的正整數n，當s≥2，x≥2時，f（s）+g（x）≤x-1．求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出F（x）的解析式，根據對數函數的性質，求出其定義域，把n=2代入F（x），利用導數研究函數的極值點；
（2）已知對于任意的正整數n，當s≥2，x≥2時，f（s）+g（x）≤x-1，將其轉化為1≤x-1-aln（x-1），即只需x-2-aln（x-1）≥0對x≥2成立，再對a進行討論，求出a的范圍；

解答：解：（1）由已知得函數F（x）的定義域為{x|x＞1}，
當n=2時，F（x）=

1

(1-x)2

+aln（x-1），所以F′（x）=

2-a(1-x)2

(1-x)2

，
①當a＞0時，由F′（x）=0得x₁=1+

2 a

＞1，x₂=1-

2 a

＜1，
此時F′（x）=

-a(x-x1)(x-x2)

(1-x)2

，
當x∈（1，x₁）時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減；
當x∈（x₁，+∞）時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增；
從而F（x）在x₁=1+

2 a

處取得極小值，極小值為：F（1+

2 a

）=

a

2

（1+ln

2

a

），
②當a≤0時，F′（x）＜0恒成立，所以F（x）無極值．
綜上所述，n=2時；
當a＞0時，F（x）在x=1+

2 a

處取得極小值，極小值為F（1+

2 a

）=

a

2

（1+ln

2

a

）
當a≤0時，函數為減函數，F（x）無極值；
（2）當x≥2時，對任意的正整數n，恒有f（s）=

1

(1-s)n

≤1，故對任意的正整數n，當s≥2，x≥2時，
有f（s）+g（x）≤x-1，只需1≤x-1-aln（x-1），即只需x-2-aln（x-1）≥0對x≥2成立，
令h（x）=x-2-aln（x-1），因為h′（x）=1-

a

x-1

=

x-1-a

x-1

（x≥2），又h（2）=0，
所以當x∈[2，+∞）時，h（x）≥h（2），即h（x）當x∈[2，+∞）時最小值為h（2）=0，
①當a≤1，h′（x）=

x-1-a

x-1

≥0，h（x）當x∈[2，+∞）單調遞增，結論成立；
②當a＞1時，當x∈[2，1+a），h′（x）＜0，x∈[1+a，+∞），h′（x）≥0，又h（2）=0，
故結論不成立，
綜合得a≤1；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的極值，解題過程中也用到了分類討論和轉化的思想，考查的知識點比較多，這類綜合題，也是高考的熱點問題；