Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點E，則DE∥BC，證出DE，DC，DA₁為 兩兩垂直后，以D為原點，建立空間坐標系，由 

AC1

•

CB

=0，結合BA₁⊥AC₁，可以證出AC₁⊥平面ABC．
（2）設A₁（0，0，t），由BA₁⊥AC₁，，得t=

3

，分別求出平面A₁AB，平面A₁BC 的一個法向量，利用兩法向量夾角求出二面角A-A₁B-C  的大小．

解答：解：（1）取AB的中點E，因為D為AC的中點
則DE為△ABC中位線，得出DE∥BC，
因為BC⊥AC，所以DE⊥AC，
又A₁D⊥平面ABC，所以DE，DC，DA₁ 兩兩垂直，
以DE，DC，DA₁為軸建立空間坐標系，
則A（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A₁（0，0，t），C₁（0，2，t），

AC1

=（0，3，t），

BA1

=（-2，-1，t），

CB

=（2，0，0），
由 

AC1

•

CB

=0，知AC₁⊥CB，又BA₁⊥AC₁，，從而AC₁⊥平面ABC．． …（6分）
（2）由

AC1

•

BA1

=-3+t²=0，，得t=

3

．設平面A₁AB的一個法向量為

n

=（x，y，z），
因為

AA1

=（0，1，

3

），

AB

=（2，2，0），所以

AA1 • n =y+ 3 z=0 AB • n =2x+2y=0

，
設z=1，則

n

=（

3

，-

3

，1）
 再設平面A₁BC 的一個法向量為

m

=（z′，y′，z′），因為

CA1

=（0，-1，

3

 ），

CB

=（2，0，0），所以

CA1 • m = -y′+  3 z′ CB • m =2x′=0

，
設z=1，則為

m

=（0，

3

，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

m • n

| m || n |

=

-2

7 • 2

=-

7

7

．，
又二面角A-A₁B-C 為銳二面角，所以大小為arccos

7

7

．
． …（12分）

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．