Question

（本小題滿分12分）
如圖，三棱錐中，平面.

（1）求證：平面；
（2）若，為中點，求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）見解析.（2）.

解析試題分析：
（1）由平面BCD，平面BCD，
得到.
進一步即得平面.
（2）思路一：由平面BCD，得.
確定.
根據平面ABD，
知三棱錐C-ABM的高，
得到三棱錐的體積.
思路二：由平面BCD知，平面ABD平面BCD，
根據平面ABD平面BCD=BD，
通過過點M作交BD于點N.
得到平面BCD，且，
利用計算三棱錐的體積.
試題解析：解法一：
（1）∵平面BCD，平面BCD，
∴.
又∵，，
平面ABD，平面ABD，
∴平面.
（2）由平面BCD，得.
∵，∴.
∵M是AD的中點，
∴.
由（1）知，平面ABD，
∴三棱錐C-ABM的高，
因此三棱錐的體積
.

解法二：
（1）同解法一.
（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，
又平面ABD平面BCD=BD，
如圖，過點M作交BD于點N.

則平面BCD，且，
又，
∴.
∴三棱錐的體積
.
考點：垂直關系，幾何體的體積，“間接法”、“等積法”.