Question

已知a，b為實數，并且e＜a＜b，其中e是自然對數的底，證明a^b＞b^a．

Answer 1

分析：先對a^b＞b^a兩邊取對數整理成

lna

a

＞

lnb

b

，令y=

lnx

x

，轉化為求函數y=

lnx

x

的單調性問題．

解答：證：當e＜a＜b時，要證a^b＞b^a，只要證blna＞alnb，
即只要證

lna

a

＞

lnb

b

考慮函數y=

lnx

x

(0＜x＜+∞)
因為但x＞e時，y′=

1-lnx

x2

＜0，
所以函數y=

lnx

x

在(e，+∞)內是減函數
因為e＜a＜b，所以

lna

a

＞

lnb

b

，即得a^b＞b^a

點評：本題主要考查函數單調性的判斷和證明．函數的單調性的判斷和證明可與導數的正負情況聯系起來，當導數大于0時原函數單調遞增，當導數小于0時原函數單調遞減．