Question

已知數列｛a_n｝是以d為公差的等差數列，數列｛b_n｝是以q為公比的等比數列
（Ⅰ）若數列｛b_n｝的前n項和為S_n，且a₁＝b₁＝d＝2，S₃＜5b₂＋a₈₈－180，求整數q的值（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試問數列｛b_n｝中是否存在一項b_k，使得b,k恰好可以表示為該數列中連續P（P∈N，P≥2）項和？請說明理由。
（Ⅲ）若b₁＝a_r，b₂＝a_s≠a_r， b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數）
求證：數列｛b_n｝中每一項都是數列｛a_n｝中的項.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知a_n=2n，bn=2·^n-1
∴由S₃＜5b₂＋a₈₈－180得.     
 b₁+b₂+b₃＜a₈₈＋5b₂－180 b₁-4b₂+b₃＜176-180q²-4q+3＜0      
解得1＜q＜3，q為值數，∴q=2.
（Ⅱ）假設數列｛b_n｝中存在一項b_k滿足b_k=b_m+b_m+1+……b_m+p-1
 ∴b_n=2ⁿ ∴b_k＞b_m+p-12^k＞2^m+p-1k＞m+p-1k≥m+p.
又b_k=2^k=b_m+b_m+1=2^m+2^m+¹+2^m+p-1==2^m+p-2^m
∴2^k＜2^m+pk＜m+p與k≥m+p矛盾，
∴不存在
（Ⅲ）由b₁=a_r得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+(s-r)d，則d=  
又b₃=b₁q²=a_r.q²=a_t=a_r+(t-r)da_rq²-a_r=(t-r) a_r(q+1)(q-1)=a_r(q-1).
∵a_s≠a_rb₁≠b₂ ∴q≠1.
又a_r≠0 故q=-1又t＞s＞r且（s-r）是(t-r)的約數  
∴q是正整數且q≥2
對于數列｛b_n｝中任一項b_i(這里只討論i＞3的情形)，
有b_i=a_rq^i-1= a_r+a_r(q^i-1-1)= a_r+ a_r（q-1）（1+q+…+q^i-2）
= a_r+d(s-r)(1+q+…+q^i-2)=a_r＋[((s-r)(1+q+…+qⁱ⁺²)+1)-1]d
由于（s-r）(1+q+…+q^i-2)+1為正整數
∴b_i一定是數列｛a_n｝中的項