Question

設f(x)是定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數且在（-∞,0）上為增函數.

（1）若m·n＜0,m+n≤0,求證：f(m)+f(n)≤0;

(2)若f(1)=0,解關于x的不等式f(x²-2x-2)＞0.

Answer 1

（1）證明見解析(2) 不等式的解集為（-∞，-1）∪（1-，1-）∪（1+，1+）∪（3，+∞）

解析:

（1）證明  ∵m·n＜0,m+n≤0，∴m、n一正一負.

不妨設m＞0,n＜0,則n≤-m＜0.取n=-m＜0,

∵函數f(x)在（-∞,0）上為增函數，

則f(n)=f(-m)；取n＜-m＜0，同理

f(n)＜f(-m)∴f(n)≤f（-m）.

又函數f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上為奇函數，

∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0.

（2）解  ∵f（1）=0，f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上為奇函數，∴f(-1)=0，

∴原不等式可化為或.

易證：f(x)在（0,+∞）上為增函數.

∴或.

∴x²-2x-3＞0或.

解得x＞3或x＜-1或.

∴不等式的解集為（-∞，-1）∪（1-，1-）∪（1+，1+）∪（3，+∞）.