Question

已知函數，（＞0，，以點為切點作函數圖象的切線，記函數圖象與三條直線所圍成的區域面積為．
（1）求；
（2）求證：＜；
（3）設為數列的前項和，求證：＜．來

Answer 1

（1）；（2）詳見試題分析；（3）詳見試題分析．

試題分析：（1）先對求導，根據切點坐標及導數的幾何意義，求出切線的斜率，寫出切線的方程，最后利用定積分計算圖象與三條直線所圍成的區域面積，可求得數列的通項公式；（2）構造函數（≥0），求導可得，從而函數（≥0）單調遞減，故，從而證得當＞0時，＜成立，故＜，∴=＜；（3）由（2）：＜，由放縮法得＜，再結合裂項相消法即可證明來＜．
試題解析：（1）易知，切點為，則方程為
即，∴=
（2）構造函數（≥0），則，即函數，（≥0）單調遞減，而，∴，等號在時取得，∴當＞0時，＜成立，∴知＜，∴=＜．
（3）＜＜，∴當時，=＜；當時，＜＜．
方法二：
（1）（2）同方法一；
（3）由（2）知＜，


（），

，又，，∴綜上所述：對一切，都有＜．