Question

已知函數
（1）若a=-4，求函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）記函數g（x）=x²f′（x），若g（x）的最小值是，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=-4代入函數的解析式，先求函數的定義域，求出函數的導函數，分析導函數符號在不同區間上的取值，根據導函數符號與原函數的單調性之間的關系可得結論；
（2）函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥在[1，+∞）上恒成立，構造函數h（x）=并求出其最小值，可得實數a的取值范圍；
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2的最小值是，由此構造關于a的方程，解方程求出a值，可得f（x）的解析式．
解答：解：（1）當a=-4時，，（x＞0）
==
令f′（x）=0，則x=
∵x∈（0，）時，f′（x）＜0，∵當x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，
∴（0，）為函數的單調遞減區間，
∴（，+∞）為函數的單調遞增區間；
（2）∵f′（x）=
若函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，
則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即2x³+ax-2≥0在[1，+∞）上恒成立
即a≥在[1，+∞）上恒成立
令h（x）=，則h′（x）=＜0恒成立
故h（x）=在[1，+∞）上單調遞減
當x=1時，h（x）取最大值0
故a≥0，即實數a的取值范圍為[0，+∞）
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2
則g′（x）=6x²+a，
當a≥0時，g′（x）≥0恒成立
此時g（x）在定義域（0，+∞）上無最小值
當a＜0時，令g′（x）=6x²+a=0
則x=
∵x∈（0，）時，f′（x）＜0，∵當x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，
∴（0，）為函數g（x）的單調遞減區間，
∴（，+∞）為函數g（x）的單調遞增區間；
當x=時，g（x）的最小值g（）==，
解得a=-
∴
點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數解析式的求解及常用方法，其中熟練掌握導函數符號與原函數的單調性之間的關系，并又此分析函數的單調區間和極值點是解答的關鍵．