Question

.已知函數（1）判定的單調性，并證明。

（2）設，若方程有實根，求的取值范圍。

（3）求函數在上的最大值和最小值。

Answer 1

（1）當x<-3時，當a>1時，f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x)在()上單調遞增

當0<a<1時，f(x₁)-f(x₂)>0, ∴f(x)在()上單調遞減

當x>3時，同理。（2）；（3）函數h(x)在[4,6]上的最為，最大值為h(4)=-2。

解析:

（1），當x<-3時，任取x₁<x₂<-3

則-＝，

∵(x₁-3)(x₂+3)-(x₁+3)(x₂-3)=6(x₁-x₂)<0，

又（x₁-3）(x₂+3)>0且(x₁+3)(x₂-3)>0

∴<1

∴當a>1時，f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x)在()上單調遞增

當0<a<1時，f(x₁)-f(x₂)>0, ∴f(x)在()上單調遞減

當x>3時，同理。

（2）若f(x)=g(x)有實根，即:

∴，∴方程有大于3的實根。

∴

＝

當且僅當，即“＝”號成立

∴。

（3），

由得x²-3x-4=0解得x₁=4,x₂=-1（舍去）

當時，單調遞減；

∴函數h(x)在[4,6]上的最為，最大值為h(4)=-2。