Question

已知偶函數y=f（x）在區間[-1，0]上是增函數，且滿足f（1-x）+f（1+x）=0，下列判斷中錯誤的是（　　）

A．f（5）=0

B．函數f（x）在[1，2]上單調遞減

C．函數f（x）的圖象關于直線 x=1對稱

D．函數f（x）的周期是T=4

Answer 1

分析：利用賦值的方法，結合f（x）為偶函數，可得f（1）=f（3）=f（5）=0，故A項正確；利用題中等式可以證出y=f（x）圖象關于點（1，0）對稱，再結合f（x）為偶函數且區間[-1，0]上是增函數，得f（x）在[1，2]上單調遞減，B項正確；由B項的證明可得C項是錯誤的；最后利用賦值的方法，結合變量代換，可證出f（x）的周期是T=4，得到D正確．

解答：解：對于A，令x=0代入題中等式，得f（1-0）+f（1+0）=0
∴f（1）=0，結合函數為偶函數得f（-1）=f（1）=0
再令x=2代入題中等式，，得f（1-2）+f（1+2）=0，得f（3）=-f（-1）=0
結合函數為偶函數得f（-3）=f（3）=0
最后令x=4，f（1-4）+f（1+4）=0，得f（5）=-f（-3）=0，故A項正確；
對于B，因為偶函數y=f（x）圖象關于y軸對稱，在區間[-1，0]上是增函數，
所以y=f（x）在區間[0，1]上是減函數，
設F（x）=f（1+x），得F（-x）=f（1-x）
因為f（1-x）+f（1+x）=0，得f（1+x）=-f（1-x），
所以F（x）=f（1+x）是奇函數，圖象關于原點對稱．由此可得y=f（x）圖象關于點（1，0）對稱．
∵區間[1，2]和區間[0，1]是關于點（1，0）對稱的區間，且在對稱的區間上函數的單調性一致
∴函數f（x）在[1，2]上單調遞減，故B項正確；
對于C，由B項的證明可知，y=f（x）圖象關于點（1，0）對稱，
若f（x）的圖象同時關于直線 x=1對稱，則f（x）=0恒成立，
這樣與“在區間[-1，0]上f（x）是增函數”矛盾，故C不正確；
對于D，因為f（x）=f（1-（1-x））=-f（1+（1+x））=-f（x+2）
所以f（x+2）=-f（x+4），可得f（x+4）=f（x），函數f（x）的周期是T=4，D項正確
故選：C

點評：本題給出抽象函數，要我們在給出的幾條性質中找出錯誤的一項，著重考查了抽象函數的性質和函數單調性、奇偶性等知識，屬于中檔題．