Question

(本小題滿分16分)
已知,
且.
(Ⅰ)當時,求在處的切線方程；
(Ⅱ)當時,設所對應的自變量取值區間的長度為(閉區間
 的長度定義為),試求的最大值；
(Ⅲ)是否存在這樣的，使得當時,?若存在,求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) 所求切線方程為,
(Ⅱ) 當時,取得最大值為
(Ⅲ) 滿足題意的存在,且的取值范圍是

解: (Ⅰ)當時,.
因為當時,,,
且,
所以當時,,且…………………………(3分)
由于,所以,又,
故所求切線方程為,
即………………………………………………………(5分)
(Ⅱ) 因為,所以,則  
當時,因為,,
所以由,解得,
從而當時, …………………………………(6分)
當時,因為,,
所以由,解得,
從而當時, ……………………………(7分)
③當時,因為,
從而 一定不成立………………………………………………………(8分)
綜上得,當且僅當時,,
故 …………………………………(9分)
從而當時,取得最大值為………………………………………(10分)
(Ⅲ)“當時,”等價于“對恒成立”,
即“(*)對恒成立” ……………………(11分)
當時,,則當時,,則(*)可化為
,即,而當時,,
所以,從而適合題意……………………………………………………(12分)
當時,.
當時,(*)可化為,即,而,
所以,此時要求……………………………………………(13分)
當時,(*)可化為,
所以,此時只要求……………………………………………(14分)
(3)當時,(*)可化為,即,而,
所以,此時要求……………………………………………(15分)
由⑴⑵⑶,得符合題意要求.
綜合①②知,滿足題意的存在,且的取值范圍是……………………(16分)