Question

29、設函數f（x）=e^x-m-x，其中m∈R．
（I）求函數f（x）的最值；
（II）給出定理：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，并且有f（a）•f（b）＜0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在x₀∈（a，b），使得f（x₀）=0．
運用上述定理判斷，當m＞1時，函數f（x）在區間（m，2m）內是否存在零點．

Answer 1

分析：（1）討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，連續函數f（x）在區間（a，b）內只有一個極值，那么極小值就是最小值；
（2）根據函數零點的判定定理，先分別求出x=m與x=2m的函數值，看函數值是否異號，如果異號，函數f（x）在區間（m，2m）內存在零點，否則不存在．

解答：解：（I）∵f（x）在（-∞，+∞）上連續，f′（x）=e^x-m-1，
令f′（x）=0，得x=m．（3分）當x∈（-∞，m）時，
e^x-m＜1，f′（x）＜0；當x∈（m，+∞）時，e^x-m＞1，
f′（x）＞0；所以，當x=m時，
f（x）取極小值也是最小值
∴f（x）_min=f（m）=1-m（*）
由（*）知f（x）無最大值；（6分）
（II）函數f（x）在[m，2m]上連續，
而f（2m）=e^m-2m，
令g（m）=e^m-2m．
則g′（m）=e^m-2
∵m＞1∴g′（m）＞e-2＞0
∴g（m）在（1，+∞）上遞增．（8分）
由g（1）=e-2＞0，
得g（m）＞g（1）＞0，
即f（2m）＞0，（10分）
又f（m）=1-m＜0，
∴f（m）•f（2m）＜0，
根據定理，可判斷函數f（x）在區間（m，2m）上存在零點．（12分）

點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，以及函數零點的判定定理，屬于基礎題．