Question

已知a=(x,0),b=(1,y),(a+b)⊥(a-b).

(1)求點P(x,y)的軌跡方程;

(2)若直線l:y=kx+m(m≠0)與曲線C交于A、B兩點,D(0,-1)且有||=||,試求實數m的取值范圍.

Answer 1

思路分析:本題是解析幾何與平面向量的一道綜合題,仔細分析題意并聯想到a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂).若a·b=0,則a⊥b即可得.

解:(1)由(a+b)⊥(a-b)得a²-3b²=0.

∴x²-3(1+y²)=0,即-y²=1.

∴點P(x,y)的軌跡方程為-y²=1.

(2)由(1-3k²)x²-6kmx-3m²-3=0.                                   ①

顯然(1-3k²)≠0且Δ=(6km)²-4(1-3k²)(-3m²-3)=12(m²+1-3k²)＞0.          ②

設x₁、x₂為方程①的兩根,則x₁+x₂=.

∴

∴AB中點M的坐標為().

∴線段AB的中垂線的方程為

y-=(-)(x-).

又∵||=||,

∴D(0,-1)是方程的解,代入即得4m=3k²-1,

代入②得12(m²-4m)＞0,

即得m＜0或m＞4.

又∵4m=3k²-1＞-1,

∴m＞-.

故-＜m＜0或m＞4.