Question

如圖，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的射影為A₁，點B在l的射影為B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=

2

，求：
（Ⅰ）直線AB分別與平面α，β所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-B₁的大小．

Answer 1

分析：（I）因為α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的射影為A₁，點B在l的射利用直線與平面所成角的定義找到該斜線在平面內的射影即可以求解影為B₁，利用直線與平面所成角的定義找到該斜線在平面內的射影即可以求解；
（II）因為BB₁⊥α，利用線面垂直的判定定理可以得到平面ABB₁⊥α，再利用三垂線定理根據二面角的定義求出二面角的平面角的平面角，在放到三角形中解出即可．

解答：解：（Ⅰ）如圖，連接A₁B，AB₁，∵α⊥β，α∩β=l，AA₁⊥l，BB₁⊥l，
∴AA₁⊥β，BB₁⊥α．則∠BAB₁，∠ABA₁分別是AB與α和β所成的角．
Rt△BB₁A中，BB₁=

2

，AB=2，
∴sin∠BAB₁=

BB1

AB

=

2

2

．
∴∠BAB₁=45°．
Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2，sin∠ABA₁=

AA1

AB

=

1

2

，
∴∠ABA₁=30°．
故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°．
（Ⅱ）∵BB₁⊥α，∴平面ABB₁⊥α．
在平面α內過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，則A₁E⊥平面AB₁B．過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A₁F⊥AB，
∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，
∴AB₁=B₁B=

2

．
∴Rt△AA₁B中，A₁B=

AB2-A A 2 1

=

4-1

=

3

．
由AA₁•A₁B=A₁F•AB得A₁F=

AA1•A1B

AB

=

1× 3

2

=

3

2

，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A₁FE=

A1E

A1F

=

6

3

，
∴二面角A₁-AB-B₁的大小為arcsin

6

3

．

點評：（1）此問重點考查了學生的空間想象能力，還考查了學生對于面面垂直的性質及線面角的概念的準確理解和靈活運用；
（2）此問重點考查了二面角的概念及利用三垂線定理求解二面角，還考查了求角時的反三角的表示方法．