Question

已知函數f(x)=2asinωxcosωx+2

3

cos2ωx-

3

(a＞0，ω＞0)的最大值為2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意兩個元素，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（I）求a，ω的值；
（II）若f（a）=

2

3

，求sin(

5π

6

-4α)的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式為f（x）=asin（2ωx+

π

3

），由題意可得函數的最小正周期為

2π

2ω

=π，求出ω=1，再由函數的最大值求出a的值．
（II）由f（a）=

2

3

求得sin（2α+

π

3

）=

1

3

，根據 sin(

5π

6

-4α)=sin[

3π

2

-（4α+

2π

3

）]=-cos（4α+

2π

3

），再利用二倍角公式求出結果．

解答：解：（I）∵函數 f(x)=2asinωxcosωx+2

3

cos2ωx-

3

=asin2ωx+

3

cos2ωx=asin（2ωx+

π

3

）．
由題意可得，函數的最小正周期為

2π

2ω

=π，∴ω=1．
再由a＞0且函數的最大值為2可得 a=1，故 f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（II）若f（a）=

2

3

，則2sin（2α+

π

3

）=

2

3

，sin（2α+

π

3

）=

1

3

，
∴sin(

5π

6

-4α)=sin[

3π

2

-（4α+

2π

3

）]=-cos（4α+

2π

3

）=-1+2sin2(2α+

π

3

)=-1+2×

1

9

=-

7

9

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求函數的解析式，二倍角的余弦公式的應用，屬于中檔題．