Question

設橢圓

x2

m+1

+y2=1的兩個焦點是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），且橢圓上存在點P，使得直線PF₁與直線PF₂垂直．
（I）求實數m的取值范圍．
（II）設l是相應于焦點F₂的準線，直線PF₂與l相交于點Q．若

|QF2|

|PF2|

=2-

3

，求直線PF₂的方程．

Answer 1

分析：（1）根據直線PF₁⊥直線PF₂推斷以O為圓心以c為半徑的圓與橢圓有交點，兩個方程聯立，表示出x²，進而根據0≤x²＜a²確定m的范圍．
（2）設P（x，y），直線PF₂方程為：y=k（x-c），根據直線l的方程求得點Q的坐標，根據

|QF2|

|PF2|

=2-

3

可推斷出點P分有向線段

QF 2

所成比為3-

3

，進而根據Q和F₂的坐標求得點P的坐標，代入橢圓方程求得k，直線PF₂的方程可得．

解答：解：（1）∵直線PF₁⊥直線PF₂
∴以O為圓心以c為半徑的圓：x²+y²=c²與橢圓：

x2

m+1

+y2=1有交點．即

x2+y2=c2 x2 m+1 +y2=1

有解
又∵c²=a²-b²=m+1-1=m＞0
∴0≤x2=

m2-1

m

＜a2=m+1
∴m≥1
（2）設P（x，y），直線PF₂方程為：y=k（x-c）
∵直線l的方程為：x=

a2

c

=

m+1

m

∴點Q的坐標為（

m+1

m

，

k

m

）
∵

|QF2|

|PF2|

=2-

3

∴點P分有向線段

QF 2

所成比為3-

3

∵F₂（

m

，0），Q（

m+1

m

，

k

m

）
∴P（

(4- 3 )m+1

(4- 3 ) m

，

k

(4- 3 ) m

）
∵點P在橢圓上∴

( (4- 3 )m+1 (4- 3 ) m )2

m+1

+(

k

(4- 3 ) m

)2=1
∴k=±

(11-6 3 )m-1 m+1

直線PF₂的方程為：y=±

(11-6 3 )m-1 m+1

（x-

m

）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．