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（2012•邯鄲模擬）在數列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-
a
 
n
=
2
an+1+an-1
(n∈N*)
（I）求數列{an}的通項公式；
（II）令cn=(2an-1)2，Sn=
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
，若Sn＜k恒成立，求k的取值范圍．
分析：（I）因為an+1-an=
2
an+1+an-1
，所以(an+1-
1
2
)2-(an-
1
2
)2=2，令bn=(an-
1
2
)2，則bn+1-bn=2，由此能求出數列{an}的通項公式．
（II）因為cn=（2an-1）2=8n-7，所以
1
cncn+1
=
1
(8n-7)(8n+1)
=
1
8
(
1
8n-7
-
1
8n+1
)，故Sn=
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
=
1
8
(1-
1
9
+
1
9
-
1
17
+…+
1
8n-7
-
1
8n+1
)=
1
8
(1-
1
8n+1
)＜
1
8
，由Sn＜k恒成立，能求出k的取值范圍．
解答：解：（I）因為an+1-an=
2
an+1+an-1
，
所以an+12-an2-an+1+an=2，
即(an+1-
1
2
)2-(an-
1
2
)2=2，--（2分）
令bn=(an-
1
2
)2
bn+1-bn=2，
故{bn}是以
1
4
為首項，2為公差的等差數列．
所以bn=
1
4
+2(n-1)=
8n-7
4
，--（4分）
因為an≥1，故an=
1+
8n-7
2
．--（6分）
（II）因為cn=（2an-1）2=8n-7，
所以
1
cncn+1
=
1
(8n-7)(8n+1)
=
1
8
(
1
8n-7
-
1
8n+1
)，--（8分）
所以Sn=
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
=
1
8
(1-
1
9
+
1
9
-
1
17
+…+
1
8n-7
-
1
8n+1
)
=
1
8
(1-
1
8n+1
)＜
1
8
，--（10分）
因為Sn＜k恒成立，
故k≥
1
8
．--（12分）
點評：本題考查數列的通項公式的求法和求實數k的取值范圍，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
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2
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π
6
)-
1
2
]．
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3
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PE
•
PF
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PM
=
MQ
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ON
=
OA
+
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①m⊥α，n∥α⇒m⊥n
②m∥n，n∥α⇒m∥α
③m∥n，n⊥β，m∥α⇒α⊥β
④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β
其中正確的命題個數有（　�。�

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