Question

（21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三個頂點.

（Ⅰ）寫出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標，并證明G，F，H三點共線；

（Ⅱ）當直線FH與OB平行時，求頂點C的軌跡.

Answer 1

（21）本小題主要考查直線與橢圓等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.

（Ⅰ）解：由△OBC三頂點坐標O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得

重心G（，），外心F（，），垂心H（b，）.

當b=時，G，F，H三點的橫坐標均為，故三點共線；

當b≠時，設G、H所在直線的斜率為k_GH，F，G所在直線的斜率為k_FG.

 

因為k_GH==，

  

  k_FG==，

 

所以k_GH=k_FG，G，F，H三點共線

綜上可得，G，F，H三點共線.

 

（Ⅱ）解：若FH∥OB，由k_FH==0，得3（b²－b）+c²=0（c≠0，b≠），

 

配方得3（b－）²+c²=，

即即 =1 （x≠，y≠0）.

因此，頂點C的軌跡是中心在（，0），長半軸長為，短半軸長為，且短軸在x軸上的橢圓，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四點.