Question

設關于x的方程2x²-ax-2=0的兩根為α、β（α＜β），函數f(x)=

4x-a

x2+1

．
（1）求f（α）、f（β）的值；
（2）證明f（x）是[α，β]上的增函數；
（3）當α為何值時，f（x）在區間[α，β]上的最大值與最小值之差最小？

Answer 1

分析：（1）先利用根與系數的關系求出α與β的關系，然后將f（α）與f（β）中的α與β消去即可；
（2）設Φ（x）=2x²-ax-2，則當a＜x＜β時，Φ（x）＜0，利用f'（x）的符號進行判定函數的單調性即可；
（3）根據（2）可知函數f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而|f（α）•f（β）|=4，則當f（β）=-f（α）=2時，f（β）-f（α）取最小值，從而得到結論．

解答：解：（1）f(α)=

-8

a2+16-a

，f(β)=

8

a2+16+a

，f(α)•f(β)=-4．
（2）設Φ（x）=2x²-ax-2，則當a＜x＜β時，Φ（x）＜0.f′(x)=

(4x-a)′(x2+1)-(4x-a)(x2+1)′

(x2+1)2

=

4(x2+1)-2x(4x-a)

(x2+1)2

=-

2(2x2-ax+2)

(x2+1)2

=-

2Φ(x)

(x2+1)2

＞0
∴函數f（x）在（α，β）上是增函數．
（3）函數f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∵|f（α）•f（β）|=4，
∴當且僅當f（β）=-f（α）=2時，f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，此時a=0，f（β）=2．

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及函數單調性的判定和函數最值等有關知識，同時考查了計算能力，屬于中檔題．