Question

如圖，四面體中，、分別是、的中點，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成角余弦值的大小；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）中主要利用線線垂直可證線面垂直；（Ⅱ）中通過作平行線轉化到三角形內解角；當然也可建系利用空間向量來解；（Ⅲ）中利用等體積法可求，亦可用空間向量來解.
試題解析：（Ⅰ）證明：連結OC


在中，由已知可得而
   即
          平面      4分
（Ⅱ）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知ME∥AB,OE∥DC
直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角
在中，

是直角斜邊AC上的中線，
       8分
（Ⅲ）解：設點E到平面ACD的距離為確規定


在中，

而

點E到平面ACD的距離為      12分
方法二：（Ⅰ）同方法一.
（Ⅱ）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則


異面直線AB與CD所成角的余弦值為
（Ⅲ）解：設平面ACD的法向量為則


令得是平面ACD的一個法向量，   又
點E到平面ACD的距離 
考點：立體幾何線面垂直的證明；異面直線所成的角；點到平面的距離.