Question

（理科）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，CC₁＞AC，∠ACB=90°，異面直線AC₁與BA₁所成角的大小為arccos

30

10

．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）設D為線段A₁B₁的中點，求二面角A-C₁D-A₁的大小．（結果用反三角函數表示）

Answer 1

分析：（1）欲求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積，只需求出底面積和高，因為底面為直角三角形，且兩條直角邊都為2，所以只需求出高CC₁，利用異面直線AC₁與BA₁所成角的大小為arccos

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10

，先借助空間向量，用CC₁的長度表示此角的余弦，再與所給的值比較，即可求出CC₁，進而求出三棱錐的體積．
（2）利用空間向量來求二面角的大小，只需求出兩個半平面的法向量所成角，再結合圖形判斷法向量所成角是二面角還是其補角．

解答：解：（1）如圖，以CA所在直線為ix軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸建立平面直角坐標系．
則A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（2，O，c），B₁（0，2，c），C₁（0，0，c）
∴

AC1

=（-2，0，c），

BA1

=（2，-2，c）
∴cos＜

AC1

，

BA1

＞=

AC1 • BA1

| AC1 || BA1 |

=

-4+c2

4+c2  8+c2

=

30

10

∴c=4，∴CC1=4
S_{三棱柱ABC-A1B1C1}=

1

2

AC•BC•CC₁=

1

2

×2×2×4=8
（2）∵D為線段A₁B₁的中點，∴D（1，1，4）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴AA1⊥平面A₁B₁C₁，
∴

AA1

為平面A₁B₁C₁的法向量．

AA1

=（0，0，4）
設平面AC₁D的法向量為

n

=（x，y，z）
∵

AC1

=（-2，0，4），

AD

=（-1，1，4）
∴-2x+4z=0，-x+y+4z=0
令z=1，則x=2，y=-2，∴

n

=（2，-2，1）
cos＜

AA1

，

n

＞=

4

4 4+4+1

=

1

3

∴平平面A₁B₁C₁的法向量與平面AC₁D的法向量所成角為arccos

1

3

，
有圖知，平平面A₁B₁C₁的法向量與平面AC₁D的法向量所成角即為二面角A-C₁D-A₁，
∴二面角A-C₁D-A₁的大小為arccos

1

3

．

點評：本題主要考查了在直三棱柱中求異面直線所成角，以及二面角的大小的方法，考查了學生的空間想象力，識圖能力，以及計算能力．