Question

如圖，已知兩定點A（-1，0），B（1，0）和定直線l：x=4，動點M在直線l上的射影為N，且2|

BM

|=|

MN

|．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程并畫草圖；
（Ⅱ）是否存在過點A的直線n，使得直線n與曲線C相交于P，Q兩點，且△PBQ的面積等于

6 3

5

？如果存在，請求出直線n的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用兩點間距離公式分別求|

BM

|，|

MN

|，再代入2|

BM

|=|

MN

|，化簡，即可得動點M的軌跡C的方程，再根據方程畫出圖形即可．
（Ⅱ）先假設存在過點A的直線n，使得直線n與曲線C相交于P，Q兩點，且△PBQ的面積等于

6 3

5

，分斜率存在和斜率不存在兩種情況設出直線n的方程，與曲線C的方程聯立，求出△PBQ的面積，讓面積等于

6 3

5

，解k，若能解出，則存在，若解不出，則不存在．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），則|

BM

|=

(x-1)2+y2

，|

MN

|=|x-4|，代入2|

BM

|=|

MN

|，得2

(x-1)2+y2

=|x-4|，化簡得，
即得曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
草圖如圖所示．
（Ⅱ）（i）若直線n的斜率不存在時，此時點P(-1 ，- 

3

2

)，點Q(-1 ， 

3

2

)，△PBQ的面積等于3，不符合；
（ii）若直線n的斜率為k時，直線n的方程設為y=k（x+1），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯立

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得(

1

4

+

1

3

k2)x2+

2

3

k2x+

1

3

k2-1=0，則x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，則|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

12 k2+1

3+4k2

，
所以 |PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

12(1+k2)

3+4k2

，
點B到直線n的距離d=

|2k|

k2+1

，
所以△PBQ的面積等于

1

2

•

12(1+k2)

3+4k2

•

2|k|

1+k2

=

6 3

5

，解之得：k=±

2

2

，
故存在直線n為y=±

2

2

(x+1)．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的解法，做題時要認真分析．