Question

請閱讀以下材料，然后解決問題：
①設橢圓的長半軸長為m短半軸長為b，則橢圓的面積為πab
②我們把由半橢圓C₁：

y2

b2

+

x2

c2

=1 （x≤0）與半橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （x≥0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0
如圖，設點F₀，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點，若△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，則上述“果圓”的面積為：

3 + 7

4

π

．

Answer 1

分析：根據△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，得半橢圓C₁的半焦距為

1

2

且半橢圓C₂的半焦距c=

3

2

，由此結合橢圓基本量的平方關系，建立關系式算出a=

7

2

，b=1，c=

3

2

，結合橢圓的面積公式加以計算，即得該“果圓”的面積．

解答：解：根據題意，得
∵△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，
∴半橢圓C₁：

y2

b2

+

x2

c2

=1 （x≤0）中，半焦距c₁=

1

2

，即

b2-c2

=

1

2

…①
且半橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （x≥0）中，c=

a2-b2

=

3

2

…②
聯解①②，得a=

7

2

，b=1，c=

3

2

根據橢圓的面積公式，得半橢圓C₁的面積為S₁=

1

2

πbc=

3

4

π
半橢圓C₂的面積為S₂=

1

2

πab=

7

4

π
∴“果圓”的面積為S₁+S₂=

3 + 7

4

π
故答案為：

3 + 7

4

π

點評：本題給出橢圓的面積公共，在已知“果圓”的定義下求它的面積，著重考查了橢圓的定義與標準方程和組合圖形面積的求法等知識，屬于中檔題．