Question

（文科做）：已知雙曲線過點A（-2，4）和B（4，4），它的一個焦點是拋物線y²=4x的焦點，求它的另一個焦點的軌跡方程．

Answer 1

解：∵拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），
∴不妨設雙曲線的焦點F₁（1，0），
∵雙曲線過點A（-2，4）和B（4，4），
∴|AF₁|=|BF₁|=5，
由雙曲線的定義知，||AF₁|-|AF₂||=||BF₁|-|BF₂||，即|5-|AF₂||=|5-|BF₂||，
（1）當5-|AF₂|=5-|BF₂|時，即|AF₂|=|BF₂|，
∴焦點F₂的軌跡是線段AB的中垂線，其方程為x=1（y≠0），
（2）當5-|AF₂|=|BF₂|-5時，即|AF₂|+|BF₂|=10＞6，
∴焦點F₂的軌跡是以A、B為焦點，長軸為10的橢圓，
∴其中心是（1，4），a=5，c=3，∴b²=25-9=16，
其方程為（y≠0）．
∴所求的軌跡方程為：x=1（y≠0）或（y≠0）．
分析：先求出拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），再由雙曲線的定義列出有關另一個焦點的方程，再進行分類討論，由式子的幾何意義和橢圓的定義進行求解，并把不符合題意的點去掉．
點評：本題考查了拋物線的性質，以及由雙曲線和橢圓的定義求動點的軌跡方程，要求學生具備一定的邏輯推理能力，具有較大的綜合性．