Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，右焦點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，在橢圓上是否存在點(diǎn)，使得向量與共線？若存在，求直線
的方程；若不存在，簡要說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）存在，且直線的方程為或.

解析試題分析：（1）先設(shè)橢圓的方程，利用離心率以及焦點(diǎn)坐標(biāo)求出、、的值，進(jìn)而確定橢圓的方程；（2）先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用向量與共線這一條件得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間所滿足的關(guān)系，并代入橢圓的方程解出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后確定直線的方程.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，    1分
離心率，右焦點(diǎn)為，，，  3分
故橢圓的方程為．  4分
（2）假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)（），使得向量與共線，  5分
，， （1）     6分
又點(diǎn)（）在橢圓上，  （2）   8分
由（1）、（2）組成方程組解得：，或，     11分
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的方程為，
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的方程為，
故直線的方程為或．    14分
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.平面向量共線；3.直線的方程