Question

（08年寶山區(qū)模擬文）（18分）  已知橢圓C：(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為。

（1）求橢圓的方程；

（2）若過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；

（3）如圖，過(guò)原點(diǎn)相互垂直的兩條直線(xiàn)與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成四邊形PRSQ，設(shè)直線(xiàn)PS的傾斜角為，試問(wèn)：△PSQ能否為正三角形，若能求的值，若不能，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

解析：（1）由題意得，解得………………………3分

所求的方程為………………………4分

（2）直線(xiàn)方程為，………………………6分

代入橢圓方程得，所以，……………………………8分

由弦長(zhǎng)公式求得�！�………………………………………………………………10分

（3）當(dāng)P在y軸上，Q在x軸上時(shí)，△PSQ不是正三角形。 ……………………11分

當(dāng)P不在y軸上時(shí)，設(shè)直線(xiàn)PS的斜率為k，，則直線(xiàn)RQ的斜率為，

由得(1)，同理(2) ………………………………12分

由△PSQ為正三角形，得，即………………………13分

所以，化簡(jiǎn)得，…………………………………15分

，即。………………………………………………17分

所以△OPQ不是正三角形�！�……………………………………………………………18分