Question

（2013•湖南）過拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點F作斜率率分別為k₁，k₂的兩條不同直線l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁與E交于點A，B，l₂與E交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在直線記為l．
（Ⅰ）若k₁＞0，k₂＞0，證明：

FM

•

FN

＜2p2；
（Ⅱ）若點M到直線l的距離的最小值為

7 5

5

，求拋物線E的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，寫出兩條直線的方程，由兩條直線方程和拋物線方程聯立求出圓M和圓N的圓心M和N的坐標，求出向量

FM

和

FN

的坐標，求出數量積后轉化為關于k₁和k₂的表達式，利用基本不等式放縮后可證得結論；
（Ⅱ）利用拋物線的定義求出圓M和圓N的直徑，結合（Ⅰ）中求出的圓M和圓N的圓心的坐標，寫出兩圓的方程，作差后得到兩圓的公共弦所在直線方程，由點到直線的距離公式求出點M到直線l的距離，利用k₁+k₂=2轉化為含有一個未知量的代數式，配方后求出最小值，由最小值等于

7 5

5

求出p的值，則拋物線E的方程可求．

解答：解：（I） 由題意，拋物線E的焦點為F(0，

p

2

)，直線l₁的方程為y=k1x+

p

2

．
由

y=k1x+ p 2 x2=2py

，得x2-2pk1x-p2=0．
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個實數根．
從而x₁+x₂=2pk₁，y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p．
所以點M的坐標為(pk1，pk12+

p

2

)，

FM

=(pk1，pk12)．
同理可得點N的坐標為(pk2，pk22+

p

2

)，

FN

=(pk2，pk22)．
于是

FM

•

FN

=p2(k1k2+k12k22)．
由題設k₁+k₂=2，k₁＞0，k₂＞0，k₁≠k₂，所以0＜k1k2＜(

k1+k2

2

)2=1．
故

FM

•

FN

＜p2(1+12)=2p2．
（Ⅱ）由拋物線的定義得|FA|=y1+

p

2

，|FB|=y2+

p

2

，
所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p，從而圓M的半徑r1=pk12+p．
故圓M的方程為(x-pk1)2+(y-pk12-

p

2

)2=(pk12+p)2，
化簡得x2+y2-2pk1x-p(2k12+1)y-

3

4

p2=0．
同理可得圓N的方程為x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-

3

4

p2=0
于是圓M，圓N的公共弦所在的直線l的方程為(k2-k1)x+(k22-k12)y=0．
又k₂-k₁≠0，k₁+k₂=2，則l的方程為x+2y=0．
因為p＞0，所以點M到直線l的距離為
d=

|2pk12+pk1+p|

5

=

p|2k12+k1+1|

5

=

p[2(k1+ 1 4 )2+ 7 8 ]

5

．
故當k1=-

1

4

時，d取最小值

7p

8 5

．由題設

7p

8 5

=

7 5

5

，解得p=8．
故所求拋物線E的方程為x²=16y．

點評：本題考查了拋物線的標準方程，考查了平面向量數量積的運算，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題．