Question

已知函數f(x)=x²，g(x)＝2elnx(x>0)(e為自然對數的底數）．
（1)求F(x)=f(x)－g(x)(x>0)的單調區間及最小值；
（2)是否存在一次函數y=kx+b(k，bR)，使得f(x)≥kx十b且g(x)≤kx＋b對一切x>0恒成立？若存在，求出該一次函數的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當時，F(x)在上單調遞減；當時，F(x)在上單調遞增．
；（2）存在一次函數，使得當x＞0時，，且恒成立.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性及最值等數學知識，考查學生的分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，對求導，利用，解出單調區間，通過單調性判斷出最小值所在位置，并且求出即可；第二問，通過第一問的求解可以知道與圖像有且僅有一個公共點，猜想所求的直線就是在公共點處的公切線，下面只需對猜想進行證明即可，只需證明當x＞0時，，且恒成立即可，進一步轉化為證明，即可，通過構造函數，利用導數求最值進行證明.
試題解析：(1) (x＞0)，
令F′(x)＝0，得(舍)，
∴當時，F′(x)＜0，F(x)在上單調遞減；
當時，F′(x)＞0，F(x)在上單調遞增．
∴當時，F(x)有極小值，也是最小值，
即.
∴F(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為，最小值為0.（7分）
(2)由(1)知，f(x)與g(x)的圖象有且僅有一個公共點，
∴猜想：一次函數的圖象就是f(x)與g(x)的圖象在點處的公切線，
其方程為.
下面證明：當x＞0時，，且恒成立．
∵，∴對x＞0恒成立．
又令，∴，
∴當時，，G(x)在上單調遞減；
當時，G′(x)＞0，G(x)在上單調遞增．
∴當時，G(x)有極小值，也是最小值，
即，∴G(x)≥0，即恒成立．
故存在一次函數，使得當x＞0時，，且恒成立.（14分）