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已知函數.
（1）求證：；
（2）若對恒成立，求的最大值與的最小值.
（1）詳見解析；（2）的最大值為，的最小值為1.

試題分析：（1）求，由，判斷出，得出函數在上單調遞減，從而；（2）由于，“”等價于“”，“”等價于“”，令，則，對分；；進行討論，
用導數法判斷函數的單調性，從而確定當對恒成立時的最大值與的最小值.
（1）由得，
因為在區間上，所以，在區間上單調遞減，
從而.
（2）當時，“”等價于“”，“”等價于“”，
令，則，
當時，對任意恒成立，
當時，因為對任意，，所以在區間上單調遞減，從而對任意恒成立.
當時 ，存在唯一的使得，
、在區間上的情況如下表：










 

 
因為在區間上是增函數，所以，進一步“對任意恒成立”
，當且僅當，即.
綜上所述，當且僅當時，對任意恒成立.當且僅當時，對任意恒成立.
所以，若對恒成立，則的最大值為與的最小值1.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數，。
（1）求函數在上的值域；
（2）若，對，恒成立，
求實數的取值范圍

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知，（ a為常數，e為自然對數的底）．
（1）
（2）時取得極小值，試確定a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設的極大值構成的函數，將a換元為x，試判斷是否能與（m為確定的常數）相切，并說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設函數，其中是的導函數.
，
(1)求的表達式；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍；
(3)設，比較與的大小，并加以證明.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數為常數，e=2．71828…是自然對數的底數)，曲線在點處的切線與x軸平行．
(1)求k的值，并求的單調區間；
(2)設，其中為的導函數．證明：對任意．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設函數.若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是（  ）
A．B．
C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知f(x)是定義在集合M上的函數．若區間D⊆M，且對任意x0∈D，均有f(x0)∈D，則稱函數f(x)在區間D上封閉．
(1)判斷f(x)＝x－1在區間[－2,1]上是否封閉，并說明理由；
(2)若函數g(x)＝在區間[3,10]上封閉，求實數a的取值范圍；
(3)若函數h(x)＝x3－3x在區間[a，b](a，b∈Z，且a≠b)上封閉，求a，b的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知，，，其中。
（1）若與的圖像在交點（2，）處的切線互相垂直，
求的值；
（2）若是函數的一個極值點，和1是的兩個零點，
且∈（，求；
（3）當時，若，是的兩個極值點，當|－|>1時，
求證：|－|

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

曲線在橫坐標為l的點處的切線為，則直線的方程為（  ）
A．B．C．D．

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