Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點F（1，0）．過點F作斜率為k（k≠0）的直線l，交橢圓G于A、B兩點，M（2，0）是一個定點．如圖所示，連AM、BM，分別交橢圓G于C、D兩點（不同于A、B），記直線CD的斜率為k₁．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）在直線l的斜率k變化的過程中，是否存在一個常數λ，使得k₁=λk恒成立？若存在，求出這個常數λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由c²=a²-b²，及已知中c=1，

c

a

=

2

2

．求出a，b的值，可得橢圓G的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．聯立方程后，使用韋達定理，分別求出x₃，y₃，x₄，y₄．代入斜率公式，可得k₁=-k．

解答：解：（Ⅰ）設c²=a²-b²，由題意c=1，

c

a

=

2

2

．解得a=

2

，b=1．
∴橢圓G的方程為

x2

2

+y2=1．                                            …（5分）
（Ⅱ）存在常數λ=-1．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
聯立

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，可得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
于是x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁•x₂=

2(k2-1)

1+2k2

．
直線AM的斜率t₁=

y1

x1-2

，聯立

x2 2 +y2=1 y=t1(x-2)

，可得
（1+2t12）x²-8t12x+2（4t12-1）=0
則x₁•x₃=

2(4t12-1)

1+2t12

，進一步可得x₃=

2(4t12-1)

(1+2t12)x1

．
將t₁=

y1

x1-2

代入，則x₃=

3x1-4

2x1-3

同理可得x₄=

3x2-4

2x2-3

．
則y₃=

-k(x1-1)

2x1-3

，y₄=

-k(x2-1)

2x2-3

由

x32

2

+y32=1，

x42

2

+y42=1兩式相減可得，
k₁=-k綜上可知，存在常數λ=-1．                                   …（15分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，橢圓的標準方程，聯立方程+韋達定理+設而不求，是解答此類問題的關鍵方法，但本題運算量巨大，屬于難題．