Question

設數列{a_n}的通項公式為a_n=an+b（n∈N^*，a＞0）．數列{b_n}定義如下：對于正整數m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a=2，b=-3，求b₁₀；
（2）若a=2，b=-1，求數列{b_m}的前2m項和公式．

Answer 1

分析：（1）由已知條件得a_n=2n-3，由數列{b_n}定義，令a_n=2n-3≥10，能求出b₁₀．
（2）由已知條件得a_n=2n-1，根據b_m的定義知b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+..b_2m-1）+（b₂+b₄+..+b_2m），由此能求出結果．

解答：解：（1）∵a_n=an+b（n∈N^*，a＞0），a=2，b=-3，
∴a_n=an+b=2n-3，
∵對于正整數m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值，
∴令a_n=2n-3≥10，
解得n≥6.5，∴n=7，
即b₁₀=7．
（2）∵a_n=an+b（n∈N^*，a＞0），a=2，b=-1，
∴a_n=an+b=2n-1，
對于正整數，令a_n≥m，求得 n≥

m+1

2

．
根據b_m的定義可知：
當m=2k-1時，b_m=k（k∈N^*）；
當m=2k時，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+..b_2m-1）+（b₂+b₄+..+b_2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]
=

m(m+1)

2

+

m(m+3)

2

=m²+2m．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．