Question

設F₁，F₂分別是橢圓C：

x2

6m2

+

y2

2m2

=1（m＞0）的左，右焦點．
（1）當P∈C，且

PF1

•

PF

2=0，|PF₁|•|PF₂|=8時，求橢圓C的左，右焦點F₁、F₂．
（2）F₁、F₂是（1）中的橢圓的左，右焦點，已知⊙F₂的半徑是1，過動點Q的作⊙F₂切線QM，使得|QF1|=

2

|QM|（M是切點），如圖．求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用條件得PF₁⊥PF₂以及PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²．再利用橢圓定義求出關于m的方程，解出m的值就可求橢圓C的左，右焦點F₁、F₂．
（2）把已知條件轉化為|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），整理即可求出動點Q的軌跡方程．

解答：解：（1）∵c²=a²-b²，∴c²=4m²．（2分）
又∵

PF1

•

PF2

=0∴PF₁⊥PF₂，（3分）
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²．（5分）
由橢圓定義可知|PF1|+|PF2|=2a=2

6

m，（|PF₁|+|PF₂|）²=16m²+16=24m²，（6分）
從而得m²=2，c²=4m²=8，c=2

2

．∴F₁（-2

2

，0）、F₂（2

2

，0）．（7分）
（2）∵F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），
由已知：|QF1|=

2

|QM|，即|QF₁|²=2|QM|²，
所以有：|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），設點Q（x，y），（9分）
則（x+2

2

）²+y²=2[（x-2

2

）²+y²-1]，（12分）
即（x-6

2

）²+y²=66）
綜上所述，所求軌跡方程為：（x-6

2

）²+y²=66．（14分）

點評：本題涉及到求動點的軌跡方程問題．在求動點的軌跡方程時，一般是利用條件得到關于動點的等式整理就可求出對應動點的軌跡方程．