Question

已知：一動圓過B（1，0）且與圓A：x²+y²+2x+4λ-3=0（0＜λ＜1）相切．
（1）證明動圓圓心P的軌跡是雙曲線，并求其方程；
（2）過點B作直線l交雙曲線右支于M、N兩點，是否存在λ的值，使得△AMN成為以∠ANM為直角的等腰三角形，若存在則求出λ的值，若不存在則說明理由．

Answer 1

分析：（1）當動圓與圓A內切時，|PA|-|PB|=2

1-λ

；當動圓與圓A外切時，|PB|-|PA|=2

1-λ

，利用雙曲線的定義可得結論；
（2）若過點B作直線l垂直于x軸，則△AMN不可能成為以∠ANM為直角的等腰三角形；若過點B作直線l不垂直于x軸，則設l的方程與

x2

1-λ

-

y2

λ

=1聯立，確定N的坐標，可得直線l的斜率，利用直線l與雙曲線右支有兩個交點，可得λ的取值范圍，利用|AN|=|MN|，即可求得結論．

解答：（1）證明：圓A：x²+y²+2x+4λ-3=0可化為（x+1）²+y²=4（1-λ），圓心為（-1，0），半徑為r=2

1-λ

當動圓與圓A內切時，|PA|-|PB|=2

1-λ

；當動圓與圓A外切時，|PB|-|PA|=2

1-λ

；
∴||PB|-|PA||=2

1-λ

，
∵0＜λ＜1，∴2

1-λ

＜2
∴||PB|-|PA||＜|AB|
∴動圓圓心P的軌跡是雙曲線，其方程為

x2

1-λ

-

y2

λ

=1；
（2）解：若過點B作直線l垂直于x軸，則△AMN不可能成為以∠ANM為直角的等腰三角形；
若過點B作直線l不垂直于x軸，則設l：y=k（x-1），l與雙曲線右支交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點
∵∠ANM為直角，∴N在以AB為直徑的圓x²+y²=1上
與

x2

1-λ

-

y2

λ

=1聯立，解得x=±

1-λ2

，y=±λ
∵N在右支上，∴N（

1-λ2

，±λ）
不妨設N在x軸下方，∴N（

1-λ2

，-λ）
此時，直線l的斜率為k=

λ

1- 1-λ2

①
|AN|=

( 1-λ2 +1)2+λ2

=

1+λ

+

1-λ

y=k（x-1）代入

x2

1-λ

-

y2

λ

=1，可得[λ-（1-λ）k²]x²+2（1-λ）k²x-（1-λ）（λ+k²）=0②
∵直線l與雙曲線右支有兩個交點，∴k＞

λ

1-λ

，∴λ-（1-λ）k²＜0③
于是x₁+x₂=-

2(1-λ)k2

λ-(1-λ)k2

，x₁x₂=

-(1-λ)(λ+k2)

λ-(1-λ)k2

將①代入③，可得λ的取值范圍為（0，

4

5

）
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2λ 1-λ

λ+2 1-λ2-2

-2

1-λ

∵|AN|=|MN|，∴

1+λ

+

1-λ

=

2λ 1-λ

λ+2 1-λ2-2

-2

1-λ

∴17λ²-24λ+8=0，∴λ=

12±2 2

17

∵λ∈（0，

4

5

）
∴存在λ=

12-2 2

17

，使得△AMN成為以∠ANM為直角的等腰三角形．

點評：本題考查軌跡方程，考查雙曲線的定義，考查直線與曲線的位置關系，考查存在性問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．