Question

已知數列滿足遞推關系式：，.
（1）若，證明：（ⅰ）當時，有；（ⅱ）當時，有.
（2）若，證明：當時，有.

Answer 1

證明略

因為，故，即數列為遞增數列.
（1）（ⅰ）由及可求得，于是當時，，于是，即當時，.
…………………………5分
（ⅱ）由于時，，所以時，.
由可得.
先用數學歸納法證明下面的不等式成立：  （）.
Ⅰ）當時，，結論成立.
Ⅱ）假設結論對成立，即，則結合（ⅰ）的結論可得
，即當時結論也成立.
綜合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式對一切都成立.
因此，當時，，即.
又，，所以當時，有.
…………………………10分
（2）由于，而數列為遞增數列，故當時，有.
由可得，而，于是
.
下面先證明：當時，有                       （*）
Ⅰ）根據及計算易得，
，而，
故，即當時，結論成立.
Ⅱ）假設結論對成立，即.
因為，而函數在時為增函數，所以
，
即當時結論也成立.
綜合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式對一切都成立.
于是當時，，故，所以.
…………………………20分