Question

（2012•昌平區二模）如圖，已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，離心率e=

6

3

，橢圓與x正半軸交于點A，直線l過橢圓中心O，且與橢圓交于B、C兩點，B（1，1）．
（Ⅰ） 求橢圓M的方程；
（Ⅱ）如果橢圓上有兩點P、Q，使∠PBQ的角平分線垂直于AO，問是否存在實數λ（λ≠0）使得

PQ

=λ

AC

成立？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由離心率e=

6

3

，可得a²=3b²，由點B（1，1）在橢圓上，可得

1

a2

+

1

b2

=1，由此可得橢圓M的方程；
（Ⅱ）設PB、QB的直線方程分別與橢圓方程聯立，利用韋達定理，確定P、Q的坐標，從而可得k_PQ=k_AC，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知e=

6

3

=

1-( b a )2

，得a²=3b²…（2分）
∵點B（1，1）在橢圓上，∴

1

a2

+

1

b2

=1，∴a2=4，b2=

4

3

…（4分）
故橢圓M的方程為：

x2

4

+

3y2

4

=1…（4分）
（Ⅱ）由于∠PBQ的平分線垂直于OA，即垂直于x軸，故直線PB的斜率存在，設為k，則QB斜率為-k，因此PB、QB的直線方程分別為y=k （x-1）+1，y=-k （x-1）+1…（6分）
由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1

得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0①
由△＞0，得k≠-

1

3

…（8分）
∵點B在橢圓上，x=1是方程①的一個根，設P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q）
∴xP•1=

3k2-6k-1

3k2+1

，∴xP=

3k2-6k-1

3k2+1

，
同理xQ=

3k2+6k-1

3k2+1

…（10分）
∴k_PQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

=

k• 2(3k2-1) 3k2+1 -2k

- 12k 3k2+1

=

1

3

∵A（2，0），C（-1，-1）
∴kAC=

1

3

，即：k_PQ=k_AC，
∴向量

PQ

∥

AC

，則總存在實數λ使

PQ

=λ

AC

成立．…（13分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查直線斜率的計算，正確求點的坐標是關鍵．